Площадь. Эта тема, а также все формулы для вычисления площади, составляют весомый кусок в курсе геометрии за школьный курс. И хотя тема несложная и изучается уже в начальной школе (кто не знает формулу площади прямоугольника?), часто именно с ней и возникают трудности, даже с площaдью того самого прямоугольника.
![площадь](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/гео3-768x1024.webp)
Площадь. Начало
- Единица измерения площади — единичный квадрат.
Итак, это квадрат со стороной, равной 1 см( 1м или 1 дм и т.д.). Площади обозначаются буквой S
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-34.png)
Площaдь единичного квадрата равна 1 квадратный сантиметр (1 квадратный метр и т.д.), то есть
здесь очень важно, а также очень полезно уметь переводить единицы измерения. Итак, например:
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-36.png)
Поэтому, если знать, что 1 м = 100 см, легко выразить квадратные сантиметры через квадратные метры. Итак.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-37.png)
Так как в реальной жизни часто приходится измерять большие площади, поэтому для участков земли используют свои единицы измерения. А именно, 1 ар (один ар), 1 га( один гектар), которые тоже связаны со стандартными единицами. Итак
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-38.png)
- Площади равных фигур равны
Это утверждение очевидно, но важно, не все фигуры, имеющие равные площади, равны. Итак на рисунке хорошо видно, что фигуры имеют одинаковые площади, и очевидно, эти фигуры не равны. Они равновелики.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-42.png)
- Если многоугольник разбит на несколько многоугольников, то площaдь основного многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-43.png)
Площадь треугольника
- формулы
Площaдь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Важно, оснований может быть три, высот тоже три, поэтому возможны комбинации.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-47.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-48.png)
Итак, для этого рисунка: S =BC • AA1= AC • BB1= BC • CC1
Формула Герона
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-51.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-52.png)
здесь p- полупериметр, a,b,c — стороны треугольника. И еще одна формула.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-53.png)
где p- полупериметр, R- радиус описанной окружности, r- радиус вписанной.
- следствия
—Если угол одно треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих эти углы, Итак
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-46.png)
—Площaдь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-49.png)
На рисунке: S = AC • CB: 2
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-50.png)
Так как в прямоугольном треугольнике две высоты из трех совпадают с катетами, формула легко выводится из основной формклы.
-Если стороны треугольника равны, то площади этих треугольников относятся как высоты, проведенные к этим сторонам.
Площaдь четырехугольника
- прямоугольника
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-56.png)
Как известно, площaдь прямоугольника равна произведению его сторон. Чаще всего, фотрула выглядит так: S= ab, где a и b- стороны прямоугольника, на рисунке это AB и BC.
- параллелограмма
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-44.png)
Итак, площaдь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенной к этому основанию. Как известно, оснований у параллелограмма не одно, поэтому и высот тоже. Итак
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-45.png)
- ромба
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-57.png)
Площaдь ромба можно найти по уже известной формуле площади параллелограмма, так как ромб и есть параллелограмм. А именно, площaдь ромба, как и площaдь параллелограмма, равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Как на рисунке: S =AHxBC
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-59.png)
Итак, две формулы для одного ромба. Площaдь равна половине произведения диагоналей и произведение сторны на выосту. Здесь могут быть варианты, точнее вариации, так как все стороны равны, поэтому можно выбирать любую сторону и любую высоту. Есть еще одна замечательная формула, она легко выводится и еще легче запроминается и также, как и с высотой, унивесальна (подходит к люой стороне и углу), итак:
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-60.png)
- квадрата
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-61.png)
Самая детская, самая знакомая, самая простая геометрическая фигура — четырехугольник- квадрат. Площaдь находится легко, всеми, по формуле: S= aa
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-62.png)
На рисунке: пусть сторона квадрата будет a, а диагональ d, тогда
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-63.png)
- трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-54.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-55.png)
Площади произвольных фигур
Часто в жизни, и в геометрии тоже, не встречаются идеальные, «правильные», известные, фигуры.Так часто приходится «выкручиваться» и что- то придумывать для вычисления площадей. Здесь можно посоветовать применить изобретательность и попробовать разбить исследуемую фигуру на фигуры известные, площади которых вычисляются по известным формулам.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-39.png)
Площади, которые чаще всего используются, или фигуры, на которые рекомендуется «разбивать» — известные и любимые прямоугольник и квадрат. При этом, часто, невозможно использвать эти фигуры, как видно на рисунке. Без треугольников, увы не обойтись. Но здесь тоже рассматриваем треугольник как половину прямоугольника.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-40.png)
На рисунке фигура замысловатая разбита на прямоугольник и два треугольника. При этом, площaдь прямоугольника равна 3х4=12 единичных квадратов, а площaдь треугольника — 3х3:2. Или:
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-41.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/03/image-35.png)
К слову сказать, это тема горячо любима в КИМ ОГЭ, так как в нелюбимом блоке «геометрия» это одно из самых легких заданий.
Right here is the perfect webpage for everyone who would like to understand this topic. You understand a whole lot its almost tough to argue with you (not that I really will need toÖHaHa). You certainly put a fresh spin on a subject that has been discussed for a long time. Wonderful stuff, just excellent!