Алгебра — математика, написанная алгебраическим языком. Алгебраические выражения, одночлены, многочлены и многое другое. Итак. Алгебраические выражения — истина, которая написана на особенном языке. Разобрать его, понимать его и полюбить его — это прекрасно. Это полезно и это навсегда. Итак. Новая наука. Великая алгебра.
Алгебраические выражения
Все выражения в алгебре бывают числовыми или буквенными, содержат. соответственно, буквы или цифры. Даже выражение типа «a» будет называться буквенным. .
Выражения с переменными подразделяются на целые и дробные. Целыми будем называть выражения, которые содержат действия: умножение, сложение, вычитание и не содержат деление. Но деление на переменную. Итак
Нетрудно догадаться какие выражения называются целыми. Далее в этой статье познакомимся поближе именно с целыми выражениями.
Алгебраические выражения. Одночлены
Самым простым примером одночлена является все те же переменные. Например, a, -b. а также числа. 7, -16 и далее. Стандартный вид одночлена — одночлен, у которого на первом месте числовой коэффициент, далее переменные в алфавитном порядке. Степенью одночлена называют сумму всех степеней его множителей. Если одночлен не содержит переменных, а состоит только из чисел, то степень такого одночлена равна нулю. И еще. Так как одночлены чаще всего содержат степени, необходимо «забежать» вперед и сначала изучить тему «степень и ее свойства» или пройти по ссылке здесь. Итак. Действия с одночленами или сложение и умножение одночленов. При сложении одночленов работают все элементарные правила математики, а именно, переместительный и сочетательный законы. Складываются только числовые коэффициенты. Складываются только одночлены с одинаковой буквенной частью. Все просто. Умножение одночленов.
Алгебраические выражения. Многочлены
Многочлены — сумма одночленов. Все просто. При этом двучлен — многочлен из двух членов. Одночлен — многочлен, состоящий из одного члена. Возможно, изучать многочлены рациональнее с «конца», а одночлены рассматривать как частный случай многочленов.
Стандартный вид многочлена
Итак.Сложение и вычитание многочленов. При сложении применяются те же правила сложения, складываются подобные одночлены, то есть те одночлены, буквенные части которых совпадают. Итак. Вычитание. При вычитании многочлена нужно поменять знаки у всех его одночленов и сложить с первым многочленом, приводя при этом подобные слагаемые.Итак. Сложение и вычитание многочленов.
Многочлены. Умножение одночлена на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить одночлен на каждый одночлен многочлена. Итак
Важно. При сложении складываются подобные слагаемые, то есть одночлены с одинаковой буквенной частью. При этом складываются числовые коэффициенты и поэтому буквенная часть остается без изменений.Итак. Теперь после сложения многочлен надо привести к стандартному виду. Стандартный вид многочлена — каждый член в стандартном виде. Итак, пример
Многочлены. Вынесение общего множителя за скобки
Часто в алгебре для решения уравнений. Для других прикладных задач необходимо вынести за скобку общий множитель. Или если в задании требуется разложить на множители многочлен. Итак, разложить на множители — значит вынести за скобку общий множитель. Или представить сумму в виде произведения. Но единых правил и законов здесь нет, все это опыт и практика. То есть основная идея — у каждого одночлена найти общий множитель и этот множитель за скобки вынести. Вынести за скобки = поделить многочлен (каждый одночлен) на этот множитель, но затем умножить. Без примера здесь никак. Итак.
Из примера видно, что задача сводится к поиску общего множителя у всех слагаемых.И затем это множитель выносим. То есть общий множитель «выносим за скобки». НО! Прошу обратить внимание, что необщие множители остаются в скобке, при этом знак «остается» с ними.
Важно! Если множитель, который выносим за скобку, имеет знак «-«, все одночлены в скобке меняют знак. Итак.
Еще пример.
Общим множителем может быть целое выражение. Тогда выносим все выражение. Так, в выражении 3a2( b – 2c) + 7( b – 2c) выражение ( b – 2c) — общий множитель. Выносим его. Все просто!!!
Умножение многочленов
Итак. При умножении многочлена поочередно умножаем каждый одночлен многочлена на второй многочлен, затем полученные многочлены складываются. Важно! При умножении, например, при умножении двучлена на двучлен получим многочлен из четырех одночленов. То есть при умножении многочлена из m членов на многочлен из n членов получим многочлен из mn членов. Итак. Правило умножения.
Не могу не упомянуть Великого Евклида с его Великим трактатом «Начала», где он показывает (точнее, доказывает) справедливость этого. Почитать можно здесь.
Разложение многочлена на множители
Здесь идет речь о более сложных способах разложения, поэтому рассмотрим способ группировки. Чистое творчество. Разберем на примере.
Итак. Пример!!! Разложите на множители многочлен ab + 3a – 2b – 6
Сначала сгруппируем для дальнейшей работы.
ab + 3a – 2b – 6 = ab – 2b + 3a – 6 = (ab — 2b) + (3a — 6)
Затем в каждой группе вынесем за скобки общий множитель.
ab + 3a – 2b – 6 = ab – 2b + 3a – 6 = b(a -2) + 3(a – 2)
Все! Далее выносим общую скобку = общий множитель.
ab + 3a – 2b – 6 = ab – 2b + 3a – 6 = b(a -2) + 3(a – 2) = (a – 2)(b + 3)
Вуаля!!! Все просто!
Great content! Keep up the good work!
thanks
спасибо