Рациональные выражения

Алгебра

Рациональные выражения — выражения, которые состоят из выражений целых и выражений дробных. Целые выражения разбирались ранее. Дробные выражения разберем здесь.

рациональные выражения

Далее речь пойдет о дробных выражениях. При этом легко понять какие выражения (из представленных ниже) являются дробными.

ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Рациональные дроби. Рациональные выражения

Итак, дробными называются выражения, которые кроме сложения, вычитания, умножения, включают в себе деление. Причем деление на выражение с переменными. итак, такие выражения называются дробными. Если переменные заменить числовыми значениями, порлучим выраение числовое. При этом, целые выражения имеют смысл при всех значениях переменной, а дробное имеет смысл только в определенных условиях. Итак, целые выражения изучались ранее, а дробные выражения изучим подробнее. Имеет смысл дробное выражение только, если значения переменной не приводят к нулю значение знаменателя. Но очень важно, перед работой с дробным выражением необходимо проверить и найти значения переменных, которые приводят знаменатель к нулю, лишая тем самым дробноые выраение смысла. Итак, допустимые значения переменных.

рациональные выражения

Итак, выражение вида

дробь

называют дробью. При этом знаменатель дроби (b) не долен равняться нулю.

Таким образом,

РАЦИОНАЛЬНАЯ ДРОБЬ

И, важно, допустимые значения переменной — все значения, кроме тех, которые допускают B=0.

Итак, при работе с рациональной дробью (с рациональными выражениями) всегда сначала проверяется (находится) область допустимых значений. То есть необходимо найти недопустимые значения переменных, приравняв знаменатель дроби к нулю.

Основное свойство рациональной дроби. Сокращение дробей

Важно.Вспомним основное свойство дроби из курса математики.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умноить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится

То есть при любых натуральных значениях a,b и c верно равенство

основное свойство дроби

Это свойство работает и для рациональных дробей, на определнных условиях, конечно же. b и c — ненулевые многочлены. Итак, основное свойство рациональной дроби.

основное свойство рациональной дроби

Например

основное свойство рациональной дроби

но важно, x не должен равняться нулю и x не должен быть равынм -y. И важно еще другое. Это равенство равно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства называются тождествами, а преобразования — тождественно равными.

тождество

Ранее тождествами называли равенства, равные при всех значениях переменных. Здесь необходимо внести поправки. Только при допустимых значениях переменных. Основное свойство рациональной дроби позволяет приводить дроби к другому знаменателю, а также сокращать.

Итак, сокращение дробей.

Если

сокращение дробей

то верно и обратное

сокращение дробей

При этом происходит сокращение дробей. Разберем на примере.

Пример. Постройте график функции

соращение дробей

Область определения функции — все значения переменной, кроме x равной одному, при x =1, знаменатель становится равным нулю и рациональная дробь не имеет смысла. Сократим рациоанльную дробь:

сокращение дробей

Итак, искомым графиком функции являются все точки прямой y= x+1, но за исключением одной точки, абсцисса которой равна 1.

сокращение дробей

Сложение и вычитание рациональных дробей. Рациональные выражения

  • Сложение рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Как и в предыдущей главе, сначала вспомним, правила сложения обыкновенных дробей.

сложение дробей

и также, как в главе предыдщей, подытлоим, что дроби рациональные складываются тоже также. То есть, если знаменатели одинаковые, числители складываем, знаменатели оставляем.

сложение дробей

Например, сложим рациональные дроби

сложение дробей

Итак,

сложение дробей

Все просто. Очевидно, что вычитаются рациональные дроби аналогично.

Например, вычтем из дроби дробь

вычитание дробей

итак

вычитание дробей
  • Сложение рациональных дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводится к поиску и приведению к одному знаменателю. И в итоге складываются дроби со знаменателями одинаковыми. По правилам сложения обыкновенных дробей. При этом поиск общего знаменателя — бесконечно увлекательный и очень творческий процесс.

Рассмотрим на примере. Сложить дроби

сложение дробей

И еще пример. Вычитание.

вычитание дробей

Здесь общий знаментель находится чуть дольше, для этого сначала выполним необходимые преобразования

вычитание дробей

Итак, теперь общий знаменатель, очевидно, -произведение трех множителей: a, b и (a+b), то есть вспомогательный множитель первой дроби — b, второй -a. Итак

вычитание дробей

Умножение и деление рациональных дробей

Умножение и деление рациональных дробей выполняется по правилам умноения и деления дробей обыкновенных. Итак, умножение дробей

  • Умножение рациональных дробей

умножение дробей

Очевидно, дроби рациональные умножаются по тем же правилам. то есть

умножение идробей

Но правило умножения рациональных дробей работает не только для двух дробей. Итак, если A, B,C,D,P и Q- многочлены,

умножение дробей

Все просто, намного проще, чем сложение дробей с разными знаментелями. Рассмотрим на примере

умножение дробей

Еще пример, посложнее. Умножим дробь на многочлен. Итак

  • Деление дробей

Деление рациональных дробей, также, как и умножение, как и сложение выполняется по правилам обыкновенных дробей. Итак, чтобы поделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

деление дробей

Итак, если A, B, C, D — ненулевые многочлены, то правило деления рациональных дробей

ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ

Или правило

деление дробей

Например,

деление дробей

Или

деление дробей

И «посложнее», деление дроби на многочлен. Представим многочлен в виде рациональной дроби. Итак

деление дробей

Оцените статью
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
С математикой на ты
Добавить комментарий