Уравнения

Алгебра

Уравнения. Это всегда. Это навсегда. Любимое.

уравнения

Линейные уравнения

Этот вид уравнений мы уже изучали в разделе «математика«. Остается только добавить, что они имеют вид:

уравнения

Или же ax + b = 0, где k и b — ненулевые числовыекоэффициенты. Решаются просто.

уравнения

На примере:

уравнения

Все ур. первой степени сводятся к уравнению вида ax + b = 0 и решаются легко. А именно,

уравнения

Все.

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений решаются тремя способами, а именно: метод подстановки, метод сложения и графический способ. Итак, рассмотрим все три.

  • Способ подстановки

Решим систему уравнений методом подстановки

система уравнений

Метод подстановки заключается именно в использовании подстановки в ходе решения. Итак.

системы уравнений

Итак, одна переменная известна, теперь подставляем ее значение в уравнение и находим другую переменную, при этом подставлять можно в любое уравнение. Но, очевидно, в первое уравнение лучше. Так как проще.

системы уравнений

Итак, система решена. Так как прием и основная техника — подстановка, (выражаем переменную одну через другую и подставляем во второе уравнение вместо переменной полученное выражение), данный способ носит название «способ подстановки».

Итак, алгоритм решения систем уравнений методом подстановки

решение системы уравнений методом подстановки
  • Способ сложения

Решим систему уравнений методом сложения.

система уравнения

В этой системе коэффициенты при y — противоположные числа, поэтому система уже готова к сложению. То есть при сложении двух уравнений переменная y «уйдет». Итак. Складывем два уравнения и получаем:

система уравнений

Решаем полученное уравнение, находим переменную x=11 и подставляем ее в уравнение

решение систем уравнений

Система решена. Итак, x = 11; y = -9.

Но это была легкая, очень удобная система. Здесь изначально были «поданы» коэффициенты, которые являются противоположными числами. Рассмотрим случай посложнее, когда нужно с системой «поработать».

Итак. Новая система.

система уравнений

если в такой системе сложить уравнения, это не приведет к успеху, так как переменная «не уйдет». Чтобы избаиться от переменной, нужно с этой системой поработать. Сначала нужно определить какую переменную «будем убирать». Здесь нужно руководствоваться здравым смыслом и идти по самому легкому пути. Очевидно, в этой системе проще убрать x, для этого нужно первое уравнение умножить на «минус два». Итак.

системы уравнений

Теперь складываем уравнения. Получаем

системы уравнений

Далее подставляем значние переменной в одно из уравнений и находим вторую переменную x. Очевидно, x = 6

Система решена, но и это не самый сложный случай. Рассмотрим систему, где преобразования нужны для двух уравнений. Итак.

ссистема уравнений

На самом деле, случаи и системы бывают разные и всегда любую систему можно решить любым способом. Кому ближе метод сложения, выбирают сложение, подстановку твыбирают любители подстановки. Итак. Алгоритм решения системы методом сложения.

алгоритм решения системы уравнений методом сложения

Графический способ решения систем уравнений

Чтобы решать системы линейных уравнений у нас уже есть два прекрасных способа. Но есть еще один, он заслуживает отдельной главы, так как он необычен и принципиально отличается от двух других. Итак. Повторим

система уравнений
система уравнений

Очевидно, что иногда уравнения и системы уравнений не имеют решений. Здесь — то и особенно хорош этот способ, так как наглядно показывет, если решений нет. Или же решений бесконечно много.

Линейное уравнение с двумя переменными можно посторить. Это линия, для построения которой нужно преобразовать уравнение и привести к виду y= kx + b, далее обыновенные построения по двум точкам.

Вся соль метода заключается в том, что строятся две линейные функции и находится точка их пересечения. Это и есть решение системы, то есть координаты точки — корни уравнений x и y.

Так как графиками уравнений, входящих в систему, являются прямые, то возможны три сценария:

системы уравнений

Заметим, что первое, что отмечается, а иногда и единственное, — это именно количество решений системы.

Рассмотрим на примере. Решим графически ситему.

система урванений

Для построения необходимо преобразовать оба уравнения:

система уравнений

Теперь построим график функций y= 5 — x и y = 7 — 3x. Построению графиков мы научились ранее, поэтому сразу перейдем к графическому решению.

система уравнений

Точка пересечения графиков есть и ее кординаты — (1; 4), проверим, подставив в уравнения:

системы уравнений

Итак. Алгоритм решения системы графическим способом.

системы уравнений

Алгебраическое решение задач (с помощью уравнений)

Невозможно описать точно способ решения задач алгоритмически, здесь важен опыт и энтузиазм, так как именно с помощью уравнений чаще всего и проще всего решаются большинство задач. И именно этот способ самый любимый. Нет универсального способа, но есть алгоритм, вот он:

решение задач алгебраически

Это все, что нужно знать и уметь, чтобы решать задачи. Попробуем разобрать на некоторых примерах. В задачах приводится только составленное уравнение.

Например, задача:

задача

Для решения задачи составим математическую модель, чтобы затем решить задачу двумя способами.

решение задач алгебраически

Итак, теперь второй способ. Если два неизвестных — две переменные, составлять их проще.

решение задач алгебраически

Но решить такое уравнение невозможно (если только подбором), поэтому здесь нужна система уравнений.

решение задач алгебраически

Решение систем линейных уравнений разобрано подробно выше.

Оцените статью
( Пока оценок нет )
Поделиться с друзьями
С математикой на ты
Добавить комментарий