Векторы

Векторы или векторные величины — величины, которын определяются не только числовым значением, но и направлением. В физике это сила, скорость или даже масса. В геометрии — вектор — напорвленный отрезок, у которого есть начало и конец. Векторы обозначаются также, как и отрезки, двумя большими латинскими буквами, или одной маленькой латинской буквой, но со стрелочкой сверху. Нулевой вектор — вектор, у которого совпадает начало и конец.

Направление вектора определяется началом и концом вектора.

Вектоpы могут быть одинаково направленными и противоположно направленными.

Вектоpы равные — равные по длине и сонаправленные. Абсолютная величина (модуль) — длина отрезка, содержащего вектор.

Коллинеарность векторов

Ненулевые вектоpы коллинеарны, если лежат на параллельных прямых. Или на одной прямой.

Очевидно, нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Коллинеарные вектоpы бывают сонаправленные и разнонаправленные. Обозначается это так:

Важно. Также, как и у параллельных прямых.

Прямая a параллельна прямой b, а прямая b паралллельна прямой c, тогда прямая a параллельна прямой c.

Вектор a коллинеарен вектору b, а вектор b коллинеарен вектору c, следовательно вектор a коллинеарен вектору c.

Пусть вектор a сонаправлен ветору b, а вектор b коллинеарен вектору с, то вектор a коллинеарен ветору c, то есть

Координаты вектора

Есть точка A c координатами и точка B с координатами, они образуют вектор AB. Тогда координатами этого вектора будут координаты (x₂-x₁;y₂-y₁). Итак

Векторы.Сложение и вычитание векторов

Метод координат. Суммой векторов a и b будет вектор с координатами (x₁+x₂;y₁+y₂). То есть

Правило треугольника. Чтобы сложить два вектора, необходимо отложить вектор, равный данному

так, чтобы совместить начало второго вектора с концом первого. Сумма векторов есть вектор, начало которого совмещается с началом первого вектора и конец которого совмещается с концом второго. Очень легко, наглядно и понятно на рисунке. Но важно помнить, что от данной точки всегда можно отложить вектор, причем только один.

Правило переллелограмма. В этом случае для сложения необходимо совместить начало одного вектор и другого. Суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма.

Вычитание векторов. Чтобы сложить два вектора, вспомним один «трюк» из алгебры. a-b = a + (-b). Это правило «работает» и для векторов, а именно:

То есть необходимо сложить вектор a с вектором, противоположным вектору b, используя для этого люой из предложенных выше способов.

Сложение нескольких векторов. чтобы сложить несколько векторов, нужно поочередно сложить веторы попарно, любым описанным выше способом.

Умножение вектора на число

Произведением ветора на число будет вектор, который будет коллинеарен данному и длина его будет больше длины первоначального вектора. Итак,

Длина вектора -2а будет в два раза больше длины вектора a, а направление будет противовоположным.

Если вектор a имеет координаты (X₁;Y₁), при умножении этого вектора на число k, получим вектор c с координатами (kx₁; ky₁).

Векторы.Умножение векторов

Скалярным произведением двух векторов есть произведение их модулей на косинус угла между ними. Итак

Или можно вычислить по формуле: