Векторы или векторные величины — величины, которын определяются не только числовым значением, но и направлением. В физике это сила, скорость или даже масса. В геометрии — вектор — напорвленный отрезок, у которого есть начало и конец. Векторы обозначаются также, как и отрезки, двумя большими латинскими буквами, или одной маленькой латинской буквой, но со стрелочкой сверху. Нулевой вектор — вектор, у которого совпадает начало и конец.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/ВЕКТОРЫ-1-768x1024.webp)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-73.png)
Направление вектора определяется началом и концом вектора.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-68.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-69.png)
Вектоpы могут быть одинаково направленными и противоположно направленными.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-70.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-71.png)
Вектоpы равные — равные по длине и сонаправленные. Абсолютная величина (модуль) — длина отрезка, содержащего вектор.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-72.png)
Коллинеарность векторов
Ненулевые вектоpы коллинеарны, если лежат на параллельных прямых. Или на одной прямой.
Очевидно, нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Коллинеарные вектоpы бывают сонаправленные и разнонаправленные. Обозначается это так:
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-74.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-77.png)
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-76.png)
Важно. Также, как и у параллельных прямых.
Прямая a параллельна прямой b, а прямая b паралллельна прямой c, тогда прямая a параллельна прямой c.
Вектор a коллинеарен вектору b, а вектор b коллинеарен вектору c, следовательно вектор a коллинеарен вектору c.
Пусть вектор a сонаправлен ветору b, а вектор b коллинеарен вектору с, то вектор a коллинеарен ветору c, то есть
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-75.png)
Координаты вектора
Есть точка A c координатами и точка B с координатами, они образуют вектор AB. Тогда координатами этого вектора будут координаты (x2-x1;y2-y1). Итак
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-92.png)
Векторы.Сложение и вычитание векторов
Метод координат. Суммой векторов a и b будет вектор с координатами (x1+x2;y1+y2). То есть
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-78.png)
Правило треугольника. Чтобы сложить два вектора, необходимо отложить вектор, равный данному
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-84.png)
так, чтобы совместить начало второго вектора с концом первого. Сумма векторов есть вектор, начало которого совмещается с началом первого вектора и конец которого совмещается с концом второго. Очень легко, наглядно и понятно на рисунке. Но важно помнить, что от данной точки всегда можно отложить вектор, причем только один.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-79.png)
Правило переллелограмма. В этом случае для сложения необходимо совместить начало одного вектор и другого. Суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-80.png)
Вычитание векторов. Чтобы сложить два вектора, вспомним один «трюк» из алгебры. a-b = a + (-b). Это правило «работает» и для векторов, а именно:
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-85.png)
То есть необходимо сложить вектор a с вектором, противоположным вектору b, используя для этого люой из предложенных выше способов.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-87.png)
Сложение нескольких векторов. чтобы сложить несколько векторов, нужно поочередно сложить веторы попарно, любым описанным выше способом.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-81.png)
Умножение вектора на число
Произведением ветора на число будет вектор, который будет коллинеарен данному и длина его будет больше длины первоначального вектора. Итак,
Длина вектора -2а будет в два раза больше длины вектора a, а направление будет противовоположным.
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-88.png)
Если вектор a имеет координаты (X1;Y1), при умножении этого вектора на число k, получим вектор c с координатами (kx1; ky1).
Векторы.Умножение векторов
Скалярным произведением двух векторов есть произведение их модулей на косинус угла между ними. Итак
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-89.png)
Или можно вычислить по формуле:
![](https://mat-teacher.ru/wp-content/uploads/2022/02/image-90.png)