Площадь

Геометрия

Площадь — тема горячо любимая и понятная всем. Полезная в быту и алгоритимически простая. Есть формулы для базовых фигур, а также рекомендации для фигур нестандартных. В общем, хорошая тема.

Площадь многоугольников

Многоугольник — фигура уже известная, которую более подробно уже разбирали в предыдущих главах. Поэтому здесь сразу перейдем к поиску площади. Как известно, многоугольник — фигура неточная и многоугольников может быть огромное количество. Многоугольников разных и непохожих друг на друга. Одной общей формулы для поиса нет. но есть несколько базовых правил, а именно:

  • равные многоугольнки имеют равные площади
  • если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то площадь многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников
  • за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, поэтому для нахождения площади нужно умножить на количество этих квадратов. Так часто на практике предлагают найти площади фигур на клетчатой бумаге (кстати, отдельный номер в ОГЭ по математике)
  • для поиска площадей многоугольников, его разбивают на понятные фигуры, то есть на фигуры. площади которых можно легко найти. Тоже, кстати, любимое задание из ВПР, РДР и других страшных работ по математике.
площадь

Итак. Основные свойства площади

  • Равные многоугольники имеют равные площади.
  • Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Равновеликие многоугольники

это многоугольники, у которых равные площади

Две прекрасные задачи на тему, которые любимы всеми авторами, интересные и красивые. Итак.

В задаче №1 требуется доказать равенство фигур ABCD и AKD

В задаче №2 требуется доказать равенство фигур ABCD и BMKD

И еще, важно, площади подобных фигур. итак

площади

Подобие фигур обсуждалось и разбиралось выше.

Площади прямоугольников

Прямоугольник — фигура до боли известная всем, самая первая и самая базовая фигура. Изучается уже в детском саду, поэтому сразу перейдем к формуле. Итак.

прямоугольник
прямоугольник

где a и b — смежные стороны.

Здесь уместно перейти к формуле для нахождения площади прямоугольного треугольника, так как известно, что диагональ делит его на два равных треугольника, поэтому формула площади прямоугольного треугольника

площадь треугольника

где a и b — катеты.

площадь треугольника

Также известная фигура — квадрат, тоже изучается » с пеленок». много раз повторяется, в начальной школе. в пятом классе точно, при прохождении темы «степень«. итак, формула для нахождения площади квадрата:

где a — сторона квадрата, как известно, в квадрате все стороны равны, так как квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Зная что такое степень, запишем новую версию, итак:

площадь
площадь

Площади треугольников

Про треугольник подробно здесь. Для пользы дела, условимся, что в треугольнике есть основание и высота к основанию. Итак

площадь

Треугольники бывают разные, высоты и основания тоже, но принципиально все треугольники по трем типам имееют одну и ту же «картинку», как на рисунке выше. Для поиска площади нам понадобится значение высоты и основания, но условно, в треугольнике возможны три варианта таких комбинаций, поэтому рекомендуется взять и назвать так ту, которая удобнее. Итак. Для нахождения площади треугольника нужно воспользоваться формулой:

площадь

где a — основание, h— высота к этому основанию.

Причем, как видно из рисунка, эта формула «работает» для любого типа треугольника, в том числе и прямоугольного, где высота совпадает с одним из катетов и «звучит» формула немного иначе:

Площадь прямоугольного треугольника

равна половине произведения катетов
площадь

где a и b — катеты.

Есть еще две замечательные формулы:

площади
площади

Как » поется» в одной прекрасной песне: » все формулы хороши, выбирай на вкус».

Площадь параллелограмма

Так как параллелограмм — четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны и равны, договримся, что одну сторону назовем основанием, а перпендикуляр, проведенный к ней — высотой.

Так на рисунке AD — основание, BH — высота к этому основанию

площадь
площадь

Для нахождения площади параллелограмма, надо основание умножить на высоту.

Площади трапеций

Трапеция — фигура, которую разбирали ранее, поэтому перейдем сразу к формуле. Высотой трапеции называют перпендикуляр. проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

площади

Для нахождения площади трапеции нужно умножить высоту на полусумму оснований.

площадь

Или, иначе:

Для нахождения площади трапеции

нужно среднюю линию трапеции умножить на высоту

Площади четырехугольников

Здесь же уместно привести формулу для вычисления площади четырехугольника

площади
площадь

Формула Герона

формула Герона
Оцените статью
( Пока оценок нет )
Поделиться с друзьями
С математикой на ты
Добавить комментарий