Школьный курс алгебры

Алгебра —  это раздел  математики, а также алгебра древняя и мудрая наука. Можно сказать, что алгебра — это математика, написанная символами. Вообще математический аппарат используется во всех науках. И в частности такие науки, как физика, химия, астрономия, биология, география, экономика  и другие используют так называемый алгебраический инструмент, поэтому алгебра изучать стоит, алгебру изучать нужно, и алгебру изучать можно. Для этого в этой статье представлен весь теоретический материал по школьному курсу. Итак, школьный предмет  алгебра.

7 класс

Алгебраические выражения

Алгебраические выражения — это числовые выражения и  выражения с переменными. 

Числовые выражения — выражения, состоящие из чисел, которые содержат такие действия, как сложение, вычитание, умножение,  возведение в степень, деление. 

 Выражение с переменными —  это выражение, которое состоит из чисел и переменных. Содержат такие выражения действия:  сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Выражения с переменными  бывают целыми и дробными. 

Целое выражение не содержит такое действия как деление. Соответственно,  алгебраическое выражение содержащее деление называется дробным.

Уравнение с одной переменной

уравнение вида ax + b, где x- переменная, a, b — числа.

Тождества. Тождественно равные выражения.

Тождество

Тождество — это равенство при всех значениях переменных

Тождественно равные выражения

Выражения, значения которых равны при любых значениях переменных

 Тождественные преобразования —  замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Доказать тождество значит доказать, что данное равенство является тождеством.

Степень.

Степень числа a с натуральным показателем n — произведение числа a само на себя n раз. Это называется » a в степени n». a — основание степени, n — показатель степени.

Свойства степени с натуральным показателем

Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо следующее:

Многочлены. Алгебра, школьный курс.

 Многочлен —  это сумма одночленов. Итак, многочлен, у которого один член, называется одночленом, двучлен —  это многочлен, у которого два члена, а трёхчлен —  многочлен, у которого три члена.

 Одночлен

 одночлен- это выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней.

 Стандартный вид одночлена —  одночлен, у которого на первом месте стоит числовой множитель, а остальные множители  — степени с разными основаниями.  Числовой множитель при этом называется коэффициентом одночлена.  Одночлены, у которых одинаковая буквенная часть, называются подобными.

 Степень одночлена —  сумма показателей степеней всех переменных.  Если одночлен — число, то его степень  равна нулю.  Нуль — одночлен степени не имеет. 

Многочлен стандартного вида

 многочлен, который состоит из  одночленов стандартного вида.

 Степень многочлена —  самая большая степень одночлена, входящих в состав многочлена.

 Чтобы сложить два многочлена нужно сложить подобные одночлены, то есть сложить их числовые коэффициенты, при этом буквенная часть остается без изменений.

 Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.

 Умножение  одночлена  на на многочлен

 при умножении одночлена на многочлен одночлен умножается на каждый член многочлена

 Умножение многочлена на многочлен

 При приумножении многочлена на многочлен, каждый член одного многочлена умножается на каждый член второго многочлена. Полученные произведения складываются.

Формулы сокращенного умножения

Произведение разности и суммы двух выражений

 произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений  (a-b)(a+b) = a² — b²

Разность квадратов

 разность квадратов двух выражений равна произведению разность этих выражений на их сумму

a² — b²= (a-b)(a+b)

Квадрат суммы и квадрат разности

Квaдрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения: (a + b)² = a²+ 2ab + b²

 Квадрaт  разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения:

(a — b)² = a²— 2ab + b²

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений по следующим формулам: a² + 2ab + b² = (a + b)² (a² + 2ab + b² = (a + b)²) позволяют свернуть трёхчлен в квадрат двучлена.

 Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.

 Из любого трёхчлена  второй степени можно выделить квадрат двучлена. Более подробно здесь.

Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. a³+b³ = (a + b)(a² — ab +b²)

 Неполный квадрат разности это многочлен вида (a² — ab + b²), который состоит из следующих членов: квадрат первого слагаемого, разности произведения первого слагаемого на второе плюс квадрат второго слагаемого.

Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. a³-b³ = (a — b)(a² + ab +b²)

Неполный квадрат суммы это многочлен вида (a² + ab + b²), который состоит из следующих членов: квадрат первого слагаемого,суммы произведения первого слагаемого на второе плюс квадрат второго слагаемого.

Уравнения. Алгебра, школьный курс.

Корень уравнения

Решить уравнение — это значит найти то значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство

 Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что корней нет

Свойства уравнений

•   Если к частям уравнения прибавить или вычесть одно и тоже число, то полученное уравнение будет иметь те же корни, что и данное.
•  Если слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный, то получится уравнение, имеющие те же корни, что и данное
•  Если  умножить или поделить в уравнении обе части на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное.

Линейное уравнение

Линейное уравнение — это уравнение вида ax = b, при этом x — переменная, а a и b — некоторые числа.

Если a не равно 0, корень уравнения x = b/a. Уравнение имеет единственный корень.

Если a=0, то 0x = b, тогда имеем два сценария. Это важно.

b=0, 0x = 0, уравнение имеет бесконечно много решений,

b не равно 0, тогда 0x = b(например, 0x = 5, равенство неверное), уравнение не имеет смысла, корней нет.

Функции

Область определения. Область значения функции

Функция или функциональная зависимость — это правило, по которому определяется зависимость двух переменных, а также формула, по которой можно найти то значение одной переменной по известному значению другой, при этом такую зависимость называют функциональной или коротко функцией.

 Итак, обычно независимую переменную обозначают x, а зависимую — y.  Функции обозначают буквой f, если переменная y  функционально зависит от переменной x,  то этот факт обозначают так y = f(x) 

 Независимую переменную называют аргументом функции.

 Значение зависимой переменной называют значением функции.

Все значения x, которые принимает аргумент, — это область определения функции.

 Все значения функции, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Задать функцию — значит объяснить правило, по которому эта функциональная зависимость “работает”, при этом нужно обязательно указать область определения функции и область значения.

Три способа

•  Так как функция- это правило, её можно задать, например, словесно. Итак, такой способ задания функции называется описательным.

•  Самый известный и самый распространённый способ задания функции —  это способ задания с помощью формулы.  Если формула, по которой задана функция, — целое выражение, то область определения этой функции -все числа.

•  Третий способ задания функции, табличный, так называется потому, что для задания координат используется таблица, при этом в заданной области определения заданы все значения аргумента x, а в заданной области значений —  все значения функции.

 Графиком функции называют геометрическую фигуру, которая состоит только из тех точек, у которых абсциссы равны значениям аргумента данной функции,  а ординаты — соответствующим значениям функции.

 Если какая-либо фигура является графиком функции, то выполняются следующие условия: если x₁ — некоторое значение аргумента, а f(x₁) — -соответствующее значение функции, то точка с координатами (x₁; f(x₁)) принадлежит  графику.

 То есть все точки графика это точки для которых верно равенство y = f ( x) 

 И важно. Фигура может быть графиком функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки. То есть одному значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Линейная функция

Линейная функция — это функция вида y= kx+b, где k и b — коэффициенты, x и y — переменные, при чем x — независимая переменная, y — зависимая. От x.

График функции

График функции — прямая. Область определения — все числа, область значений — все числа.

• Если b=0, линейная функция тогда имеет вид: y = kx. Итак теперь линейная функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности также является прямая, область определения и область значения также все числа. Но есть одна особенность: график прямой пропорциональности проходит через начало координат. Так как график линейной функции прямая, то для построения графика достаточно двух точек, а для прямой пропорциональности достаточно одной. Так как вторая точка всегда О(0;0).

• Рассмотрим еще один частный случай. Если коэффициент k=0, Линейная функция имеет вид: y = b

Так как функция линейная, график такой функции тоже прямая линия,но параллельная оси абсцисс. Это очевидно, так как при любых значениях x ордината постоянна и равна b.

Системы уравнений. Алгебра, школьный курс.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение, которое имеет вид ax + by = c, называют уравнением с двумя переменными. Здесь a, b, c — числа (коэффициенты уравнения), x и y — переменные. Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все значения переменных x и y, которые обращают уравнение в верное числовое равенство. Или же доказать, что решений нет.

Системы уравнений с двумя переменными

Система уравнений — это два и более уравнений, которые объединены фигурной скобкой и имеют общие решения, то есть корни уравнения одного уравнения являются корнями уравнения второго и все других, входящих в систему.

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет

Графический способ решения систем уравнений

Чтобы решить систему уравнений графическим способом,

алгоритм решения

• нужно построить в одной координатной плоскости графики всех уравнений, входящих в систему (чаще всего система состоит из двух уравнений).
• далее найти координаты точки пересечения построенных графиков. Потому что координаты точек пересечения — корни системы уравнений.

Графический способ имеет свои достоинства и недостатки, итак, плюс этого метода в наглядности, а минус — высока погрешность вычислений.

Если графиками уравнений системы являются прямые, то возможны следующие сценарии:

• прямые пересекаются, то есть система имеет единственное решение
• прямые совпадают, то есть бесконечно много решений
• прямые параллельны, а это значит нет решений, так как точек пересечения нет.

Решение систем уравнений методом подстановки

Чтобы решить систему методом подстановки, нужно сначала выразить одну переменную через другую, поэтому для этого нужно преобразовать одно из уравнений. Чтобы затем в другое уравнение подставить вместо этой переменной полученное выражение. Итак, мы получили уравнение с одной переменной, которое теперь нужно решить. Решить уравнение с одной переменной, чтобы затем известное значение переменной подставить вместо этой переменной в любое из уравнений и найти вторую переменную.

Решение систем уравнений методом сложения

Суть этого метода именно в сложении, то есть два уравнения системы можно сложить. Итак корни этого полученного уравнения и есть решения системы. Но складывать уравнения нужно не просто и не всегда сразу. Потому что иногда (и чаще всего) сначала необходимо преобразовать уравнения. Поэтому иногда достаточно преобразовать одно из уравнений, но иногда приходится менять оба. Итак, смысл и основная идея сложения — избавиться от одной из переменных. Чтобы при сложении двух уравнений одна из переменных «ушла», нужно, чтобы коэффициенты при переменной были числами противоположными. Поэтому

алгоритм решения

• перед сложением внимательно «изучаем» уравнения, анализируем и, если изначально коэффициенты при одинаковых переменных не противоположны, умножаем одно или оба уравнения так, чтобы все-таки при какой -то из переменных достичь противоположности.
• После «обработки» уравнения нужно сложить и получить в итоге уравнение с одной переменной, а затем это уравнение нужно решить.
• известное значение переменной подставить в любое из уравнений с тем, чтобы найти вторую переменную.

Итак, это все, поэтому решайте уравнения, решайте легко системы уравнений, решайте так, как вам больше нравится, но главное — с удовольствием и любовью. И внимательно. Успехов всем!!!