Площадь

Площадь — тема горячо любимая и понятная всем. Полезная в быту и алгоритимически простая. Есть формулы для базовых фигур, а также рекомендации для фигур нестандартных. В общем, хорошая тема.

Содержание

Площадь многоугольников

Многоугольник — фигура уже известная, которую более подробно уже разбирали в предыдущих главах. Поэтому здесь сразу перейдем к поиску площади. Как известно, многоугольник — фигура неточная и многоугольников может быть огромное количество. Многоугольников разных и непохожих друг на друга. Одной общей формулы для поиса нет. но есть несколько базовых правил, а именно:

равные многоугольнки имеют равные площади
если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то площадь многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников
за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, поэтому для нахождения площади нужно умножить на количество этих квадратов. Так часто на практике предлагают найти площади фигур на клетчатой бумаге (кстати, отдельный номер в ОГЭ по математике)
для поиска площадей многоугольников, его разбивают на понятные фигуры, то есть на фигуры. площади которых можно легко найти. Тоже, кстати, любимое задание из ВПР, РДР и других страшных работ по математике.

Итак. Основные свойства площади

Равные многоугольники имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Равновеликие многоугольники
это многоугольники, у которых равные площади

Две прекрасные задачи на тему, которые любимы всеми авторами, интересные и красивые. Итак.

В задаче №1 требуется доказать равенство фигур ABCD и AKD

В задаче №2 требуется доказать равенство фигур ABCD и BMKD

И еще, важно, площади подобных фигур. итак

Подобие фигур обсуждалось и разбиралось выше.

Площади прямоугольников

Прямоугольник — фигура до боли известная всем, самая первая и самая базовая фигура. Изучается уже в детском саду, поэтому сразу перейдем к формуле. Итак.

где a и b — смежные стороны.

Здесь уместно перейти к формуле для нахождения площади прямоугольного треугольника, так как известно, что диагональ делит его на два равных треугольника, поэтому формула площади прямоугольного треугольника

где a и b — катеты.

Также известная фигура — квадрат, тоже изучается » с пеленок». много раз повторяется, в начальной школе. в пятом классе точно, при прохождении темы «степень«. итак, формула для нахождения площади квадрата:

где a — сторона квадрата, как известно, в квадрате все стороны равны, так как квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Зная что такое степень, запишем новую версию, итак:

площадь

Площади треугольников

Про треугольник подробно здесь. Для пользы дела, условимся, что в треугольнике есть основание и высота к основанию. Итак

Треугольники бывают разные, высоты и основания тоже, но принципиально все треугольники по трем типам имееют одну и ту же «картинку», как на рисунке выше. Для поиска площади нам понадобится значение высоты и основания, но условно, в треугольнике возможны три варианта таких комбинаций, поэтому рекомендуется взять и назвать так ту, которая удобнее. Итак. Для нахождения площади треугольника нужно воспользоваться формулой:

где a — основание, h— высота к этому основанию.

Причем, как видно из рисунка, эта формула «работает» для любого типа треугольника, в том числе и прямоугольного, где высота совпадает с одним из катетов и «звучит» формула немного иначе:

Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения катетов

где a и b — катеты.

Есть еще две замечательные формулы:

Как » поется» в одной прекрасной песне: » все формулы хороши, выбирай на вкус».

Площадь параллелограмма

Так как параллелограмм — четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны и равны, договримся, что одну сторону назовем основанием, а перпендикуляр, проведенный к ней — высотой.

Так на рисунке AD — основание, BH — высота к этому основанию

Для нахождения площади параллелограмма, надо основание умножить на высоту.

Площади трапеций

Трапеция — фигура, которую разбирали ранее, поэтому перейдем сразу к формуле. Высотой трапеции называют перпендикуляр. проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.